Algèbre linéaire Exemples

$9 x^{4} + 10 y^{4} = 42$

Étape 1

Soustrayez $9 x^{4}$ des deux côtés de l’équation.

$10 y^{4} = 42 - 9 x^{4}$

Étape 2

Divisez chaque terme dans $10 y^{4} = 42 - 9 x^{4}$ par $10$ et simplifiez.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $10 y^{4} = 42 - 9 x^{4}$ par $10$ .

$\frac{10 y^{4}}{10} = \frac{42}{10} + \frac{- 9 x^{4}}{10}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{10 y^{4}}{10} = \frac{42}{10} + \frac{- 9 x^{4}}{10}$

Étape 2.2.1.2

Divisez $y^{4}$ par $1$ .

$y^{4} = \frac{42}{10} + \frac{- 9 x^{4}}{10}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Annulez le facteur commun à $42$ et $10$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $42$ .

$y^{4} = \frac{2 (21)}{10} + \frac{- 9 x^{4}}{10}$

Étape 2.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$y^{4} = \frac{2 \cdot 21}{2 \cdot 5} + \frac{- 9 x^{4}}{10}$

Étape 2.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y^{4} = \frac{2 \cdot 21}{2 \cdot 5} + \frac{- 9 x^{4}}{10}$

Étape 2.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y^{4} = \frac{21}{5} + \frac{- 9 x^{4}}{10}$

Étape 2.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{4} = \frac{21}{5} - \frac{9 x^{4}}{10}$

Étape 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{21}{5} - \frac{9 x^{4}}{10}}$

Étape 4

Simplifiez $\pm \sqrt[4]{\frac{21}{5} - \frac{9 x^{4}}{10}}$ .

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Étape 4.1

Pour écrire $\frac{21}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{21}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{9 x^{4}}{10}}$

Étape 4.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $10$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.2.1

Multipliez $\frac{21}{5}$ par $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{21 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{9 x^{4}}{10}}$

Étape 4.2.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{21 \cdot 2}{10} - \frac{9 x^{4}}{10}}$

Étape 4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{21 \cdot 2 - 9 x^{4}}{10}}$

Étape 4.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.4.1

Factorisez $3$ à partir de $21 \cdot 2 - 9 x^{4}$ .

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Étape 4.4.1.1

Factorisez $3$ à partir de $21 \cdot 2$ .

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{3 (7 \cdot 2) - 9 x^{4}}{10}}$

Étape 4.4.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 9 x^{4}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{3 (7 \cdot 2) + 3 (- 3 x^{4})}{10}}$

Étape 4.4.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (7 \cdot 2) + 3 (- 3 x^{4})$ .

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{3 (7 \cdot 2 - 3 x^{4})}{10}}$

Étape 4.4.2

Multipliez $7$ par $2$ .

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{3 (14 - 3 x^{4})}{10}}$

Étape 4.5

Réécrivez $\sqrt[4]{\frac{3 (14 - 3 x^{4})}{10}}$ comme $\frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4})}}{\sqrt[4]{10}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4})}}{\sqrt[4]{10}}$

Étape 4.6

Multipliez $\frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4})}}{\sqrt[4]{10}}$ par $\frac{{\sqrt[4]{10}}^{3}}{{\sqrt[4]{10}}^{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4})}}{\sqrt[4]{10}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{10}}^{3}}{{\sqrt[4]{10}}^{3}}$

Étape 4.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.7.1

Multipliez $\frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4})}}{\sqrt[4]{10}}$ par $\frac{{\sqrt[4]{10}}^{3}}{{\sqrt[4]{10}}^{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4})} {\sqrt[4]{10}}^{3}}{\sqrt[4]{10} {\sqrt[4]{10}}^{3}}$

Étape 4.7.2

Élevez $\sqrt[4]{10}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4})} {\sqrt[4]{10}}^{3}}{{\sqrt[4]{10}}^{1} {\sqrt[4]{10}}^{3}}$

Étape 4.7.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4})} {\sqrt[4]{10}}^{3}}{{\sqrt[4]{10}}^{1 + 3}}$

Étape 4.7.4

Additionnez $1$ et $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4})} {\sqrt[4]{10}}^{3}}{{\sqrt[4]{10}}^{4}}$

Étape 4.7.5

Réécrivez ${\sqrt[4]{10}}^{4}$ comme $10$ .

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Étape 4.7.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{10}$ comme $10^{\frac{1}{4}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4})} {\sqrt[4]{10}}^{3}}{{(10^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

Étape 4.7.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4})} {\sqrt[4]{10}}^{3}}{10^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

Étape 4.7.5.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $4$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4})} {\sqrt[4]{10}}^{3}}{10^{\frac{4}{4}}}$

Étape 4.7.5.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.7.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4})} {\sqrt[4]{10}}^{3}}{10^{\frac{4}{4}}}$

Étape 4.7.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4})} {\sqrt[4]{10}}^{3}}{10^{1}}$

Étape 4.7.5.5

Évaluez l’exposant.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4})} {\sqrt[4]{10}}^{3}}{10}$

Étape 4.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.8.1

Réécrivez ${\sqrt[4]{10}}^{3}$ comme $\sqrt[4]{10^{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4})} \sqrt[4]{10^{3}}}{10}$

Étape 4.8.2

Élevez $10$ à la puissance $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4})} \sqrt[4]{1000}}{10}$

Étape 4.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.9.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4}) \cdot 1000}}{10}$

Étape 4.9.2

Multipliez $1000$ par $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{3000 (14 - 3 x^{4})}}{10}$

Étape 5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{\sqrt[4]{3000 (14 - 3 x^{4})}}{10}$

Étape 5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{\sqrt[4]{3000 (14 - 3 x^{4})}}{10}$

Étape 5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{\sqrt[4]{3000 (14 - 3 x^{4})}}{10}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{3000 (14 - 3 x^{4})}}{10}$

$y = \frac{\sqrt[4]{3000 (14 - 3 x^{4})}}{10}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{3000 (14 - 3 x^{4})}}{10}$

Étape 6

Définissez le radicande dans $\sqrt[4]{3000 (14 - 3 x^{4})}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$3000 (14 - 3 x^{4}) \geq 0$

Étape 7

Résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $3000 (14 - 3 x^{4}) \geq 0$ par $3000$ et simplifiez.

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Étape 7.1.1

Divisez chaque terme dans $3000 (14 - 3 x^{4}) \geq 0$ par $3000$ .

$\frac{3000 (14 - 3 x^{4})}{3000} \geq \frac{0}{3000}$

Étape 7.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.1.2.1

Annulez le facteur commun de $3000$ .

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Étape 7.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3000 (14 - 3 x^{4})}{3000} \geq \frac{0}{3000}$

Étape 7.1.2.1.2

Divisez $14 - 3 x^{4}$ par $1$ .

$14 - 3 x^{4} \geq \frac{0}{3000}$

Étape 7.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.1.3.1

Divisez $0$ par $3000$ .

$14 - 3 x^{4} \geq 0$

Étape 7.2

Soustrayez $14$ des deux côtés de l’inégalité.

$- 3 x^{4} \geq - 14$

Étape 7.3

Divisez chaque terme dans $- 3 x^{4} \geq - 14$ par $- 3$ et simplifiez.

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Étape 7.3.1

Divisez chaque terme dans $- 3 x^{4} \geq - 14$ par $- 3$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- 3 x^{4}}{- 3} \leq \frac{- 14}{- 3}$

Étape 7.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 7.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 x^{4}}{- 3} \leq \frac{- 14}{- 3}$

Étape 7.3.2.1.2

Divisez $x^{4}$ par $1$ .

$x^{4} \leq \frac{- 14}{- 3}$

Étape 7.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x^{4} \leq \frac{14}{3}$

Étape 7.4

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt[4]{x^{4}} \leq \sqrt[4]{\frac{14}{3}}$

Étape 7.5

Simplifiez l’équation.

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Étape 7.5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.5.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | \leq \sqrt[4]{\frac{14}{3}}$

Étape 7.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.5.2.1

Simplifiez $\sqrt[4]{\frac{14}{3}}$ .

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Étape 7.5.2.1.1

Réécrivez $\sqrt[4]{\frac{14}{3}}$ comme $\frac{\sqrt[4]{14}}{\sqrt[4]{3}}$ .

$| x | \leq \frac{\sqrt[4]{14}}{\sqrt[4]{3}}$

Étape 7.5.2.1.2

Multipliez $\frac{\sqrt[4]{14}}{\sqrt[4]{3}}$ par $\frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$ .

$| x | \leq \frac{\sqrt[4]{14}}{\sqrt[4]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Étape 7.5.2.1.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.5.2.1.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt[4]{14}}{\sqrt[4]{3}}$ par $\frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$ .

$| x | \leq \frac{\sqrt[4]{14} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{\sqrt[4]{3} {\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Étape 7.5.2.1.3.2

Élevez $\sqrt[4]{3}$ à la puissance $1$ .

$| x | \leq \frac{\sqrt[4]{14} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{1} {\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Étape 7.5.2.1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$| x | \leq \frac{\sqrt[4]{14} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{1 + 3}}$

Étape 7.5.2.1.3.4

Additionnez $1$ et $3$ .

$| x | \leq \frac{\sqrt[4]{14} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{4}}$

Étape 7.5.2.1.3.5

Réécrivez ${\sqrt[4]{3}}^{4}$ comme $3$ .

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Étape 7.5.2.1.3.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{3}$ comme $3^{\frac{1}{4}}$ .

$| x | \leq \frac{\sqrt[4]{14} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

Étape 7.5.2.1.3.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| x | \leq \frac{\sqrt[4]{14} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

Étape 7.5.2.1.3.5.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $4$ .

$| x | \leq \frac{\sqrt[4]{14} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{4}{4}}}$

Étape 7.5.2.1.3.5.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 7.5.2.1.3.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$| x | \leq \frac{\sqrt[4]{14} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{4}{4}}}$

Étape 7.5.2.1.3.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$| x | \leq \frac{\sqrt[4]{14} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{1}}$

Étape 7.5.2.1.3.5.5

Évaluez l’exposant.

$| x | \leq \frac{\sqrt[4]{14} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{3}$

Étape 7.5.2.1.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.5.2.1.4.1

Réécrivez ${\sqrt[4]{3}}^{3}$ comme $\sqrt[4]{3^{3}}$ .

$| x | \leq \frac{\sqrt[4]{14} \sqrt[4]{3^{3}}}{3}$

Étape 7.5.2.1.4.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$| x | \leq \frac{\sqrt[4]{14} \sqrt[4]{27}}{3}$

Étape 7.5.2.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.5.2.1.5.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$| x | \leq \frac{\sqrt[4]{14 \cdot 27}}{3}$

Étape 7.5.2.1.5.2

Multipliez $14$ par $27$ .

$| x | \leq \frac{\sqrt[4]{378}}{3}$

Étape 7.6

Écrivez $| x | \leq \frac{\sqrt[4]{378}}{3}$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 7.6.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x \geq 0$

Étape 7.6.2

Dans la partie où $x$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x \leq \frac{\sqrt[4]{378}}{3}$

Étape 7.6.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x < 0$

Étape 7.6.4

Dans la partie où $x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- x \leq \frac{\sqrt[4]{378}}{3}$

Étape 7.6.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x \leq \frac{\sqrt[4]{378}}{3} & x \geq 0 \\ - x \leq \frac{\sqrt[4]{378}}{3} & x < 0 \end{cases}$

Étape 7.7

Déterminez l’intersection de $x \leq \frac{\sqrt[4]{378}}{3}$ et $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq \frac{\sqrt[4]{378}}{3}$

Étape 7.8

Résolvez $- x \leq \frac{\sqrt[4]{378}}{3}$ quand $x < 0$ .

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Étape 7.8.1

Divisez chaque terme dans $- x \leq \frac{\sqrt[4]{378}}{3}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 7.8.1.1

Divisez chaque terme dans $- x \leq \frac{\sqrt[4]{378}}{3}$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\frac{\sqrt[4]{378}}{3}}{- 1}$

Étape 7.8.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.8.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \geq \frac{\frac{\sqrt[4]{378}}{3}}{- 1}$

Étape 7.8.1.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \geq \frac{\frac{\sqrt[4]{378}}{3}}{- 1}$

Étape 7.8.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.8.1.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\frac{\sqrt[4]{378}}{3}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot \frac{\sqrt[4]{378}}{3}$

Étape 7.8.1.3.2

Réécrivez $- 1 \cdot \frac{\sqrt[4]{378}}{3}$ comme $- \frac{\sqrt[4]{378}}{3}$ .

$x \geq - \frac{\sqrt[4]{378}}{3}$

Étape 7.8.2

Déterminez l’intersection de $x \geq - \frac{\sqrt[4]{378}}{3}$ et $x < 0$ .

$- \frac{\sqrt[4]{378}}{3} \leq x < 0$

Étape 7.9

Déterminez l’union des solutions.

$- \frac{\sqrt[4]{378}}{3} \leq x \leq \frac{\sqrt[4]{378}}{3}$

Étape 8

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[- \frac{\sqrt[4]{378}}{3}, \frac{\sqrt[4]{378}}{3}]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | - \frac{\sqrt[4]{378}}{3} \leq x \leq \frac{\sqrt[4]{378}}{3}}$

Étape 9